SCHRÖDINGER EQUATION: WAVE FUNCTION WITH APPLICATION IN THE INFINITE SQUARE WELL AND IN A FREE PARTICLE

Authors

  • José Francisco da Silva Costa Costa Universidade Fderal do Pará
  • Marinaldo Carvalho Lobato Lobato Universidade Federal do Pará
  • José Wilton Serrão Nascimento Nascimento Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
  • José Augusto dos Santos Cardoso, Cardoso Universidade Federal do Pará
  • Mário dos Santos Torres Torres Universidade Estadual do Pará
  • Eliezer Pereira Cavalheiro Cavalheiro Universidade Federal do Pará
  • Ilan de Jesus Baia Pinheiro Pinheiro Universidade Federal do Pará
  • Antonio Maia de Jesus Chaves Neto; Neto Universidade Federal do Pará

DOI:

https://doi.org/10.66104/ev5dbr30

Keywords:

Schrödinger Equation; Mathematical and physical foundations; Infinite square wells and free particles;

Abstract

This article addresses the Schrödinger equation related to the wave function, focusing on its application to two specific physical systems: infinite square wells and free particles. The general objective is to understand the mathematical and physical foundations and to explore how the solution of the equation describes the quantum behavior of particles in different electric potentials. The methods used are theoretical and analytical, based on a review of the relevant literature on quantum mechanics. The one-dimensional case of the time-dependent equation and its stationary form are analyzed for an infinite square well, with emphasis on energy quantization and the determination of boundary conditions for the allowed stationary states. For free particles, it is examined as a superposition of plane waves associated with a continuous energy spectrum. The results show that in infinite wells the solutions exhibit energy quantization and discrete states, while for free particles the solutions present degrees of freedom of motion with continuous energy. The conclusion is that the Schrödinger equation is crucial for describing quantum phenomena, providing a solid mathematical foundation for understanding confined and free systems, highlighting, through examples, the importance of wave functions in predicting and explaining the behavior of particles in quantum systems, contributing to the advancement of modern physics. 

 

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Author Biographies

  • José Francisco da Silva Costa Costa, Universidade Fderal do Pará

    Possui Graduação (1999) em Física (Licenciatura plena) pela Universidade Federal do Pará (UFPA), Mestrado (2010) e Doutorado (2015) em Física pelo programa de pós-graduação em Física (PPGF) da UFPA na linha de pesquisa de Física da Matéria Condensada. Teve como pesquisa da dissertação de Mestrado, o Estudo de Nanofios de UA e Dendrímeros e como trabalho de tese, Espectrometrias UV, DOS e Circular Dicroísmo de Canabinoides e a Dinâmica Molecular poli (amido amina) depositada em um Nanotubo de Carbono. Dissertação e tese desenvolvidas sob a orientação do Prof. Dr. Antonio Maia de Jesus Chaves Neto. Possui domínio em modelagem molecular teórico de espectroscopias DOS, Infravermelho, RAMAM, CD e UV de canabinoides da planta Cannabis sativa em solventes.Docente do programa de mestrado profissional em Matemática (PROFMAT). Vice-Lider de pesquisa do grupo do Laboratório de Preparação e Computação de Nanomateriais (LPCN). Adjunto A de nível 1 no Campus Universitário de Abaetetuba pertencente à Faculdade de Formação e desenvolvimento do Campo-FADECAM. Coordenador da Faculdade de Formação e Desenvolvimento do Campo-FADECAM. Atua como pesquisador no grupo de Estudos da Biodiversidade e Sustentabilidade na Amazônia Tocantina. Professor da Faculdade de Formação e Desenvolvimento do Campo (Campus Abaetetuba), atuando na área de Física aplicada na educação do campo e com experiência em Educação Rural. Diretor da Faculdade de Formação e Desenvolvimento do campo que contempla os cursos de Educação do Campo e Agroecologia no campus universitário de Abaetetuba-PA. É membro da Associação Brasileira de Engenharia Química (https://abeq.org.br/). Fiscal do programa CECAMPE norte na região do Pará ligado ao programa PDDE.

  • Marinaldo Carvalho Lobato Lobato, Universidade Federal do Pará

    Possui graduação em Matemática pela Universidade do Estado do Pará (2006). Especialização em Educação Matemática para o Ensino Médio (2008) pela Universidade Federal do Pará (UFPA). Mestrado pelo programa de Pós-graduação em Engenharia Química ( PPOGEQ) pela Universidade Federal do Pará (2024). Atuou como Professor de ensino fundamental (1983-2018) e ensino médio (2007-2018) no quadro efetivo pela Secretaria de Estado de Educação(SEDUC). Participou do Programa de Desenvolvimento Profissional Continuado - Parâmetros em Ação (2001 a 2004) com os professores do ensino fundamental das escolas das redes municipais e conveniadas. Membro do grupo de pesquisa pelo Laboratório de Preparação e Computação de Nanomateriais(LPCN), sob supervisão do Prof. Dr. Antônio Maia de Jesus Chaves Neto (Líder do grupo LPCN) e do Prof. Dr. José Francisco da Silva Costa ( Vice-líder do grupo LPCN), trabalhando junto ao grupo em publicações de artigos nacional e internacional. Tem experiência na área de Matemática, especialmente na interdisciplinaridade entre a Música e a Matemática o que tem desenvolvido importantes resultados com diversas publicações concernentes a essas áreas do conhecimento.

  • José Wilton Serrão Nascimento Nascimento , Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia

    Possui Licenciatura em Física pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará (IFPA, 2004), Especialização em Ensino de Física pela Faculdade de Tecnologia Equipe Darwin (FATED, 2013) e Especialização em Gestão de Projetos na Administração Pública pela Estácio FAP (2015). Mestre em Engenharia de Materiais pelo Programa de Pós-Graduação do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará (PPGEMAT/IFPA, 2025). Professor do ensino regular e técnico profissionalizante, com atuação na Secretaria de Estado de Educação do Pará (SEDUC-PA). Atua no ensino médio regular e na educação profissional técnica, com experiência nas áreas de Ensino de Física, Eletrotécnica, Automação e Controle.

  • José Augusto dos Santos Cardoso, Cardoso, Universidade Federal do Pará

    Possui Graduação pela Universidade do Estado do Pará-UEPA (2015). Professor Ciências Naturais Físicas Biológicas da Prefeitura de São Sebastião da Boa Vista-Marajó desde 2016. Possui Especialização no ensino de Física Pela FAVENI (2022). Possui Mestrado no Ensino de Física pela Universidade Federal do Pará (UFPA)-2022. Doutorando pelo Programa de Pós Graduação em Física (UFPA) desde 2022 sob a orientação do professor Dr. Sanclayton Geraldo Carneiro Moreira na área da Física da Matéria Condensada, desenvolvendo pesquisa com a dopagem do Cristais de KDP com Cloreto de Európio 3, Cloreto de Lantânio, Cloreto de Paládio 2 e Cloreto de Érbio 3.

  • Mário dos Santos Torres Torres , Universidade Estadual do Pará

    Possui graduação em Licenciatura em Física pela Universidade Estadual do Pará. professor da rede municipal de ensino  EMEIF Quilombola Santo André – Rio Itacuruçá. 

  • Eliezer Pereira Cavalheiro Cavalheiro, Universidade Federal do Pará

    Mestre em Ensino de Física pela Universidade Federal do Pará - UFPA (2019-2021). Especialista em Ensino de Física pelo Centro Universitário FAVENI - UNIFAVENI (2020-2021). Especialista em Educação do Campo e Extensão Rural pela Universidade Federal do Pará - UFPA (2017-2018). Especialista em Direito Administrativo, Direitos Humanos e Criminologia pela Faculdade Focus. Cursando Bacharelado em Direito pela Faculdade de Educação e Tecnologia da Amazônia (FAM). Licenciado Pleno em Física pela Universidade Federal do Pará - UFPA (2012-2018). Licenciado Pleno em Ciências Naturais com habilitação em Biologia pela Universidade do Estado do Pará - UEPA (2008-2012). Atualmente exercendo atividade profissional como Papiloscopista na Polícia Civil do Estado do Pará (PC-PA). Trabalhou como professor de Ciências da Natureza no Programa EJA Campo da Secretaria de Estado de Educação do Pará - SEDUC-PA (2018-2022) e como professor de cursos de Graduação da Faculdade de Educação e Tecnologia da Amazônia (FAM) (2020-2021). Possui experiência tanto na Educação Superior, quanto na Educação Básica, sendo que na Educação Superior as experiências estão relacionadas ao ensino de Matemática, Metodologia Científica e Psicologia da Educação. Na Educação Básica, as experiências dizem respeito à Educação do Campo, com ênfase em Ensino de Ciências na Educação de Jovens e Adultos (EJA); Ensino de Biologia; Ensino de Física; Ensino de Matemática e Ensino de Química.

  • Ilan de Jesus Baia Pinheiro Pinheiro, Universidade Federal do Pará

    Possui graduação em Educação Física pela Universidade Federal do Pará (2024) . Tem experiência na área de Educação Física.

  • Antonio Maia de Jesus Chaves Neto; Neto, Universidade Federal do Pará

    Full Professor Maia completed his undergraduate studies in Physics at the Federal University of Pará (UFPA) (1991). Later, he received his geophysics Masters degree (1996), after his doctorate from the State University of Campinas (UNICAMP) (2004) and pos-doc at the UNICAMP (2007-2008). In 2022, he received his degree in Environmental and Sanitary Engineering. He did his postdoctoral internship 2021-2022 at the University of Texas, Arlington with Visiting Professor Abroad Senior Scholarship (PVEX-CAPES) Senior CAPES. Currently, he is doing a Post-Doctorate Abroad - PDE, Process: 442014/2023-6 at the Center for Research in Advanced Materials (CIMAV). Since 1996, he has been professor of the Physics Department. He is leader of Laboratory of Preparation and Computation of Nanomaterials (www.LPCN.ufpa.br), Museum of Science, Technology and Innovation (www.MCTI.ufpa.br) of UFPA. He is interested about Renewable Energies, Solar Cells, Nanoscience, and Nanotechnology. He was coordinator's scholarship of PIBID-CAPES program 01/03/2011 to 01/03/2015. He is ternure professor of Post-graduation Program of Chemistry Engineering (https://sigaa.ufpa.br/sigaa/public/programa/equipe.jsf?lc=en_USid=456), Postgraduate Program in Engineering of Natural Resources of the Amazon at the Institute of Technology " (PRODERNA-ITEC/UFPA). (http://www.proderna.ufpa.br)/index.php/en/ ) and Professional Mastering in Physics Teaching, pole UFPA. Also, he is local coordinator member of a Brazilian Association of Chemical Engineering (https://abeq.org.br/).

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2026-04-21

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Vol. 13 No. 07 (2026): REMUNOM - ISSN 2178-6925

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Copyright (c) 2026 Dr. José Francisco da Silva Costa, Mestre Marinaldo Carvalho Lobato, Mestre José Wilton Serrão Nascimento, Mestre José Augusto dos Santos Cardoso, Mário dos Santos Torres, Mestre Eliezer Pereira Cavalheiro, Ilan de Jesus Baia Pinheiro , Dr. Antonio Maia de Jesus Chaves Neto

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SCHRÖDINGER EQUATION: WAVE FUNCTION WITH APPLICATION IN THE INFINITE SQUARE WELL AND IN A FREE PARTICLE. (2026). REMUNOM, 13(07), 1-29. https://doi.org/10.66104/ev5dbr30